LaLlavedeRoberto

¿Cuántos infinitos hay?

Hagamos un planteo para ejercitar nuestra cabeza: en una bolsa llamada A ponemos todos los números enteros positivos y en otra llamada B solamente los números pares. Si ahora pregunto “¿en qué bolsa hay más números?” guiado por su intuición cualquiera me contestaría “en la bolsa A, porque en el conjunto de los números enteros positivos están tanto los pares como los impares”. Sin embargo, la gente queda sorprendida al descubrir que hay la misma cantidad de números en ambas bolsas.

Para convencerse, basta realizar la siguiente correspondencia: al número 1 le hacemos corresponder el 2; al 2 el 4; al 3 el 6; al 4 el 8; al 5 el 10. Y así seguimos hasta el número X al que le hacemos corresponder el 2X. A cada número de la bolsa A le corresponde uno de la bolsa B.

Pasa lo mismo en cualquier par de segmentos. Sea cual fuere su longitud –uno muy corto y otro muy largo- en ambos hay el mismo número de puntos.

Se me ocurre otro caso, el de los distintos tipos de infinito. Uno tiende a pensar que sólo puede existir un infinito. ¿Qué pasaría si afirmara que hay infinitos más grandes e infinitos más pequeños? ¿Cómo creer semejante cosa?

Sin embargo, uno de los matemáticos más lúcidos de la historia, Georg Cantor, lo demostró. Por ejemplo, si bien los números racionales y los irracionales forman ambos conjuntos infinitos, los irracionales son más. Es decir, no hay forma de hacer corresponder a cada número irracional uno racional, lo que indica que su infinito es más grande.

Un ejemplo nos puede ayudar a comprender mucho mejor lo que Cantor descubrió.

Tiremos un dado poliédrico de diez caras, cada una con un dígito, y anotemos cada resultado como si fuera un decimal de un número. Ahora pensemos, qué es lo más probable…que a partir de un determinado momento ¿comience a repetirse un período o que los números salgan anárquicamente? Para que sea un número racional, a partir de un momento debe aparecer una repetición, ya sea de un dígito como en el caso 8, 783000000000 (se reitera el 0) o en el 8,33333333…(en donde se repite el 3) o en el 8,6767676767... en donde se repite el 67.

Lo cierto es que resulta muy poco probable que cada vez que tiremos el dado poliédrico saquemos todos ceros o todos 3 o siempre 6,7,6,7,6,7. Esto da una idea intuitiva del por qué hay más números irracionales que racionales. Pero representa un choque para nuestra manera de pensar.

Con Cantor nace la idea de los diferentes tipos de infinitos, unos más grandes que otros. En otras palabras, hay la misma cantidad de números naturales que de enteros o racionales, pero todos estos son menos que los irracionales. Pero también es fácil ver que dos segmentos de cualquier longitud tienen el mismo número de puntos, lo que parece otro atentado a la intuición.

A partir de estas observaciones surgió otra pregunta interesante: ¿hay algún conjunto que tenga un número de elementos más grande que el de los naturales pero más chico que el de los irracionales?…¿existe algún conjunto intermedio?

Dicha pregunta originó lo que se conoce con el nombre de la “hipótesis del continuo”. Con los axiomas actuales de la matemática es indecidible si existe o no, pero es posible demostrar que en cualquiera de los casos, todo lo que se sabe hasta el momento es independiente de este hecho.

Creo que todos los ejemplos a los que nos referimos demuestran que uno es capaz de estimular y desarrollar una forma de pensamiento que en apariencia, sólo en apariencia, atenta contra el sentido común. Es una cuestión de entrenamiento, es un trabajo de modelaje.

De "Científicos..." de Adrián Paenza